Piano nazionale per l'introduzione dell'Informatica nelle scuole secondarie superiori. Indicazioni programmatiche relative all'insegnamento della matematica nel triennio del liceo ginnasio e del liceo scientifico e nel secondo biennio dell'istituto magistrale
Questa Direzione Generale, sulla base
delle proposte formulate dalle scuole che attuano la sperimentazione di
Matematica del Piano Nazionale per l'Informatica e delle risultanze delle
verifiche sino ad ora effettuate, ritiene opportuno fornire alcune indicazioni
in ordine alle modalità di attuazione dei programmi sperimentali
di matematica nel triennio del Liceo Ginnasio e del Liceo Scientifico e
di quelli del secondo biennio dell'Istituto Magistrale, programmi a suo
tempo diffusi con C.M. n. 24 del 6/2/1991.
Su tali indicazioni si è preventivamente
acquisito anche il parere dell'Unione Matematica Italiana nell'ambito della
collaborazione prevista da un apposito protocollo d'intesa.
Le indicazioni fornite avranno efficacia
diretta per le prime classi del triennio e del secondo biennio che avviano
la sperimentazione a partire dall'a.s.1996/97. Potranno altresì
costituire un utile riferimento per le classi che nei decorsi anni scolastici
1994/95 - 1995/96 hanno iniziato l'ultimo ciclo di studi.
Le predette indicazioni vengono formulate
nel contesto di un'organica struttura curricolare in maniera da renderne
più facile l'applicazione.
Pertanto, il testo che si trasmette
in allegato tiene conto sia delle novità che delle parti non modificate
e già oggetto della sperimentazione.
Conseguentemente, le scuole che attuano
il P.N.I. vorranno aderire con formale delibera alle nuove indicazioni,
relative ai programmi senza necessità di ulteriore autorizzazione
da parte di questo Ministero.
FINALITA'
Nel corso del triennio l'insegnamento
della matematica prosegue ed amplia il processo di preparazione scientifica
e culturale dei giovani già avviato nel biennio; concorre insieme
alle altre discipline allo sviluppo dello spirito critico ed alla loro
promozione umana ed intellettuale.
In questa fase della vita scolastica
lo studio della matematica cura e sviluppa in particolare:
1. l'acquisizione di conoscenze a livelli
più elevati di astrazione e di formalizzazione;
2. la capacità di cogliere
i caratteri distintivi dei vari linguaggi (storico-naturali, formali, artificiali);
3. la capacità di utilizzare
metodi, strumenti e modelli matematici in situazioni diverse;
4. l'attitudine a riesaminare criticamente
ed a sistemare logicamente le conoscenze via via acquisite;
5. l'interesse sempre più vivo
nel cogliere gli sviluppi storico-filosofici del pensiero matematico.
Queste finalità si integrano con quelle proprie delle altre discipline del triennio di modo che l'insegnamento della matematica, pur conservando la propria autonomia epistemologico-metodologica, concorra in forma interdisciplinare alla formazione culturale degli allievi.
OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO
Alla fine del triennio l'alunno dovrà
possedere, sotto l'aspetto concettuale, i contenuti prescrittivi previsti
dal programma ed essere in grado di:
1. sviluppare dimostrazioni all'interno
di sistemi assiomatici proposti o liberamente costruiti;
2. operare con il simbolismo matematico
riconoscendo le regole sintattiche di trasformazione di formule;
3. utilizzare metodi e strumenti di
natura probabilistica e inferenziale;
4. affrontare situazioni problematiche
di varia natura avvalendosi di modelli matematici atti alla loro rappresentazione;
5. costruire procedure di risoluzione
di un problema e, ove sia il caso, tradurle in programmi per il calcolatore;
6. risolvere problemi geometrici per
via sintetica o per via analitica;
7. interpretare intuitivamente situazioni
geometriche spaziali;
8. applicare le regole della logica
in campo matematico;
9. utilizzare consapevolmente elementi
del calcolo differenziale;
10. inquadrare storicamente l'evoluzione
delle idee matematiche fondamentali;
11. cogliere interazioni tra pensiero
filosofico e pensiero matematico.
CONTENUTI
TEMA N. 1 - GEOMETRIA
1.a Trasformazioni per omotetia e per
similitudine del piano euclideo. Proprietà invarianti. Teorema di
Talete.
1.b Circonferenza, ellisse, parabola,
iperbole nel piano cartesiano.
1.c Lunghezza della circonferenza
e misure angolari. Area del cerchio.
1.d Definizione geometrica di coseno
e di seno. Teorema del coseno e teorema dei seni. Risoluzione dei triangoli
rettangoli.
1.e Incidenza, parallelismo, ortogonalità
nello spazio. Angoli di rette e piani; angoli diedri, triedri.
1.f Poliedri regolari. Solidi notevoli.
1.g Le geometrie non euclidee dal
punto di vista elementare.
1.h Il metodo ipotetico-deduttivo:
concetti primitivi, assiomi, definizioni, teoremi. Coerenza ed indipendenza
di un sistema di assiomi.
1.i Sistemazione assiomatica della
geometria euclidea. *Esemplificazioni di sistemazione assiomatica in altri
contesti *.
Suddivisione per anno:
Classe terza : 1.a - 1.b
Classe quarta: 1.c - 1.d - 1.e - 1.f
Classe quinta: 1.g - 1.h - 1.i
TEMA N. 2 - INSIEMI NUMERICI E STRUTTURE
2.a Calcolo combinatorio: disposizioni,
permutazioni, combinazioni.
2.b L'insieme dei numeri naturali:
divisibilità, algoritmo euclideo, numeri primi, classi di resti.
2.c Principio d'induzione. Progressioni
aritmetiche e geometriche. Successioni numeriche.
2.d L'insieme dei numeri reali e sua
completezza.
2.e Potenze a base reale positiva
e ad esponente razionale. Operazioni su di esse.
2.f Vettori nel piano.
2.g Numeri complessi.
2.h Potenze a base reale positiva
e ad esponente reale.
2.i Strutture algebriche fondamentali.
Insiemi ordinati.
2.l Confronto tra insiemi infiniti.
Suddivisione per anno:
Classe terza : 2.a - 2.b - 2.c - 2.d
- 2.e - 2.f - 2.g
Classe quarta: 2.h - 2.i - 2.l
TEMA N. 3 - FUNZIONI ED EQUAZIONI
3.a Equazioni e sistemi di II grado.
Disequazioni di II grado.
3.b Funzioni circolari. Formule di
addizioni e principali conseguenze.
3.c Logaritmo e sue proprietà.
Funzioni esponenziale e logaritmica.
3.d Zeri di una funzione.
Suddivisione per anno:
Classe terza : 3.a
Classe quarta: 3.b - 3.c - 3.d
TEMA N. 4 - PROBABILITA' E STATISTICA
4.a Statistica descrittiva bivariata:
matrice dei dati, tabelle a doppia entrata, distribuzioni statistiche (congiunte,
condizionate, marginali). Coefficiente di correlazione.
4.b Valutazioni e definizioni di probabilità
in vari contesti.
4.c Correlazione, indipendenza, formula
di Bayes. Variabili aleatorie in una e *in due dimensioni* (casi finiti).
4.d *Variabili aleatorie discrete:
distribuzioni binomiale, geometrica, di Poisson*.
Suddivisione per anno:
Classe terza : 4.a
Classe quarta: 4.b - 4.c
Classe quinta: 4.d
TEMA N. 5 - LOGICA
5.a Alcune regole d'inferenza nella logica dei predicati.
Suddivisione per anno:
Classe terza : 5.a
TEMA N. 6 - INFORMATICA
6.a Implementazione di algoritmi numerici
diretti e iterativi, controllo della precisione.
6.b *Analisi statistica di testi*.
6.c *Il concetto di algoritmo: esempi
di funzioni non calcolabili; esempi di problemi non decidibili*.
Suddivisione per anno:
Classe terza : 6.a
Classe quarta: 6.b
Classe quinta: 6.c
TEMA N. 7 - ANALISI INFINITESIMALE
7.a Limite di una successione numerica.
7.b Limite, continuità e derivata
di una funzione in una variabile reale.
7.c Studio e rappresentazione grafica
di una funzione razionale.
7.d Il problema della misura: lunghezza,
area, volume. Integrale definito.
7.e Funzione primitiva ed integrale
indefinito. Calcolo di integrali immediati.
Suddivisione per anno:
Classe quinta: 7.a - 7.b - 7.c - 7.d - 7.e
N.B. Gli argomenti inseriti tra asterischi (*.*) non sono prescrittivi: il loro svolgimento e livello di approfondimento è lasciato alla valutazione degli insegnanti.
TEMA N. 1 - GEOMETRIA
Gli argomenti di geometria indicati
per il triennio sono in stretta connessione con gli argomenti suggeriti
per il biennio e completano la formazione dello studente dandogli una visione,
per quanto possibile, completa della disciplina.
L'argomento delle omotetie e similitudini
completa quello delle isometrie; di quest'ultimo saranno esaminate le composizioni
qualora non siano già state presentate nel biennio. Il tema si inquadra
nella concezione di Klein della geometria ed è finalizzato alla
ricerca delle proprietà invarianti delle figure.
Proseguendo nello studio del metodo
cartesiano si definiranno le coniche come luoghi geometrici e se ne scriveranno
le equazioni con riferimento a sistemi di assi cartesiani opportunamente
scelti.
Con l'argomento della lunghezza della
circonferenza e area del cerchio si affronta un tema, quello della misura,
che sarà ripreso in forma più generale nell'ultimo anno.
Lo studio della trigonometria, ridotto
all'essenziale, è finalizzato alla risoluzione dei triangoli rettangoli;
esso risponde anche alle necessità proprie delle altre scienze.
Le dimostrazioni delle principali
proprietà dello spazio euclideo tridimensionale e dei solidi notevoli
completano gli argomenti di geometria elementare; nello sviluppo dei vari
argomenti l'intuizione avrà un ruolo determinante.
La presentazione delle geometrie non
euclidee non sarà fine a se stessa, ma servirà a chiarire
il significato di assioma e di sistema ipotetico-deduttivo. L'acquisizione
di tali concetti potrà essere facilitata da opportune riflessioni,
nel corso del triennio e in idonei contesti, sul metodo ipotetico-deduttivo.
Limitandosi a fatti fondamentali il
docente potrà ripercorrere i più significativi tentativi
di dimostrazione del V postulato di Euclide e illustrare semplici proprietà
delle geometrie non euclidee confrontandole con le situazioni che si presentano
nella geometria euclidea; potrà pure procedere, se lo ritiene didatticamente
opportuno, alla costruzione di modelli del piano ellittico e del piano
iperbolico, anche con semplici riferimenti alla geometria sulla sfera.
La riflessione critica porterà
lo studente, a conclusione dei suoi studi secondari, alla sistemazione
assiomatica della geometria euclidea, nella quale, tuttavia, si eviterà
una trattazione approfondita di tutti gli assiomi.
A giudizio del docente potranno essere
considerate sistemazioni assiomatiche anche in altri contesti al fine di
meglio recepire il concetto di teoria matematica formalizzata ed il senso
delle relative problematiche metateoriche.
TEMA N. 2 - INSIEMI NUMERICI E STRUTTURE
Lo studio del calcolo combinatorio
si può limitare alle disposizioni, permutazioni e combinazioni semplici
e alle loro proprietà principali; esso contribuirà, tra l'altro,
ad abituare lo studente a dimostrazioni di tipo algebrico.
Nel presentare le questioni aritmetiche,
ma anche in altri contesti, il docente potrà accennare a qualcuno
dei problemi ancora aperti, anche allo scopo di far vedere come la matematica
non sia una scienza conclusa.
La presentazione delle classi di resti
serve a dare all'alunno un esempio significativo di insiemi finiti.
Del principio di induzione si potrà
dare una giustificazione intuitiva; il docente avrà cura di sottolineare
l'efficacia del principio stesso come strumento dimostrativo attraverso
vari esempi e applicazioni.
Ripercorrendo un cammino già
compiuto nel biennio (numeri naturali, razionali, relativi) si giungerà
ai numeri reali, per definire i quali si potrà far ricorso alle
sezioni di Dedekind o ad altri metodi; in ogni caso la definizione sarà
collegata con la proprietà di completezza del loro insieme. Nell'occasione,
come peraltro suggerito anche in altri temi, si porterà l'attenzione
dello studente sulle regole del calcolo numerico approssimato, già
note nel biennio.
Nel trattare le potenze a base reale
positiva e ad esponente razionale, e quindi nel calcolo dei radicali, sarà
opportuno non insistere nella ripetitività e complessità
delle espressioni, dovendosi privilegiare sempre, più che l'esercizio
fine a se stesso, la padronanza concettuale e la consapevolezza delle procedure
seguite.
Nello studio dei vettori ci si limiterà
alle operazioni fondamentali: somma di vettori, prodotto di un vettore
per un numero reale, prodotto scalare di due vettori.
L'introduzione dei numeri complessi
sarà collegata alla risoluzione dell'equazione di II grado; le operazioni
su di essi saranno quelle che possono essere condotte sulla loro forma
binomiale.
Il concetto di potenza ad esponente
reale sarà trattato in stretto collegamento con quello di logaritmo,
previsto nel medesimo anno.
Le strutture algebriche e d'ordine
saranno introdotte non come una classificazione teorico-formale, ma come
ambienti operativi i cui elementi possono essere di varia natura e nei
quali è possibile risolvere classi di problemi diversi; in particolare
sarà opportuno stimolare l'osservazione di proprietà strutturali
nella composizione di trasformazioni geometriche.
Il confronto tra insiemi infiniti
dovrà far risaltare la differenza tra la potenza del numerabile
e quella del continuo.
TEMA N. 3 - FUNZIONI ED EQUAZIONI
Nello sviluppo di equazioni, disequazioni
e sistemi di II grado si considereranno parallelamente la risoluzione algebrica
e la rappresentazione geometrica.
Lo studio delle funzioni circolari
è limitato al teorema della somma e sue immediate conseguenze. Per
la determinazione dei valori di tali funzioni ci si avvarrà di strumenti
automatici di calcolo.
Gli esercizi di applicazione ai concetti
di esponenziale e logaritmo saranno limitati ai casi più semplici;
anche per il calcolo del logaritmo di un numero o del numero di dato logaritmo
si farà ricorso a strumenti automatici di calcolo. Dei suddetti
concetti - esponenziale e logaritmo - andranno invece poste in rilievo
sia l'importanza teorica (isomorfismo per strutture) sia le applicazioni
(modellizzazioni di fenomeni di accrescimento).
Nell'ambito del sottotema, previsto
nella classe quarta, Zeri di una funzione, il docente introdurrà
in forma intuitiva il concetto di continuità di una funzione, concetto
che sarà ripreso in forma più rigorosa nella classe quinta.
La ricerca degli zeri, strettamente collegata con l'esame del grafico
delle funzioni via via incontrate, porta alle soluzioni di equazioni algebriche
e trascendenti. Nel trattare le prime il docente potrà fare cenno
al teorema fondamentale dell'algebra sottolineando l'importanza dell'estensione
dei numeri reali ai numeri complessi; per le seconde si limiterà
a quelle più semplici. L'argomento sarà completato con la
determinazione delle eventuali soluzioni approssimate di un'equazione,
avvalendosi dei metodi propri dell'informatica.
TEMA N. 4 - PROBABILITA' E STATISTICA
Gli elementi di calcolo delle probabilità
e statistica rispondono all'esigenza di abituare l'alunno ad effettuare
modellizzazioni di situazioni in condizioni di incertezza.
A questo fine è preferibile
che la statistica descrittiva (studio dei fenomeni collettivi) preceda
il calcolo delle probabilità, in quanto atta a fornire semplici
modelli capaci di aprire la problematica concettuale delle probabilità.
Inoltre la statistica descrittiva bivariata è così largamente
utilizzata nella pubblicistica quotidiana che appare molto opportuno e
naturale il suo inserimento precoce nella scuola.
Per quanto riguarda il calcolo delle
probabilità l'allusione ai vari contesti in cui si valutano queste
probabilità conduce alle diverse definizioni di probabilità
che sono state storicamente proposte; definizioni che, opportunamente
riprese, non verranno viste come antitetiche l'una dell'altra, potendosi
usare in ogni contesto applicativo quella che appare più opportuna
nello stato di informazione in cui si sta operando.
Una possibile sintesi tra le varie
definizioni, che potrà essere effettuata all'ultimo anno, sta nella
formalizzazione assiomatica della teoria, che va presentata e motivata
sia da un punto di vista storico, sia secondo una giustificazione di comodità
per lo sviluppo dell'intera teoria, sia per fornire un ulteriore esempio
di teoria matematica espressa in forma ipotetico-deduttiva.
Questo esempio potrà utilmente
essere accostato a quelli di geometria e di altri contesti per consentire
quella sintesi finale che è il ripensamento del metodo matematico.
Le semplici distribuzioni di probabilità,
che saranno trattate se il docente lo ritiene opportuno, sono sufficienti
a dare indicazioni non banali sulla problematica di questa parte del calcolo
delle probabilità, anche perché sono particolarmente ricche
di applicazioni in vari contesti: fisico, biologico, economico, applicazioni
che saranno utilizzate per meglio mettere in luce gli aspetti peculiari
dei diversi modelli (binomiale, poissoniano, ecc.).
Particolare cura sarà posta
nel ricordare le basi storiche e filosofiche (Pascal, empirismo inglese,
ecc.).
TEMA N. 5 - LOGICA
Il docente non presenterà una
trattazione completa delle regole d'inferenza della logica dei predicati,
che risulterebbe troppo astratta, ma sceglierà alcuni tipici schemi
di deduzione di uso più frequente in matematica.
Sarà molto utile illustrare
tali schemi con esempi di dimostrazioni, scelti anche tra quelli già
noti allo studente.
Si completa così lo studio
della logica delle proposizioni e dei predicati, già iniziato nel
biennio. La riflessione logica merita comunque molta attenzione in tutti
gli anni del triennio, anche in collegamento ad argomenti citati in altri
temi (ad esempio il principio d'induzione, il confronto tra insiemi infiniti).
In particolare lo studio della logica sarà ripreso quando si affronteranno
gli argomenti di geometria dell'ultimo anno.
TEMA N. 6 - INFORMATICA
Il sottotema Implementazione di
algoritmi numerici diretti e iterativi, controllo della precisione
si articola nei seguenti argomenti: soluzione di semplici sistemi lineari,
approssimazione di soluzione di equazioni, costruzione di successioni.
Per questi argomenti potrà
usarsi in laboratorio, in modo più avanzato, lo stesso ambiente
di programmazione conosciuto al biennio, nonché avvalersi di idoneo
software didattico. Sarà didatticamente opportuno utilizzare software
didattico anche in relazione ad altri ambiti (geometria, statistica, ecc.).
Il sottotema Analisi statistica
di testi, si articola in: strutture dei dati (vettori, alberi, tabelle),
algoritmi di memorizzazione, individuazione di parametri statistici significativi
(frequenza e distribuzione dei caratteri, delle parole, ecc.). Anche per
questi argomenti in laboratorio si può usare lo stesso ambiente
di programmazione conosciuto nel biennio.
Il sottotema «Il concetto
di algoritmo. Esempi di funzioni non calcolabili. Esempi di problemi non
decidibili, peraltro non prescrittivo, sarà trattato ad un livello
di approfondimento adeguato alle basi culturali degli alunni.
TEMA N. 7 - ANALISI INFINITESIMALE
L'introduzione del concetto di limite
e di quelli di derivabilità ed integrabilità sarà
accompagnato da un ventaglio quanto più ampio possibile di loro
impieghi in ambiti matematici ed extramatematici ed arricchita dalla presentazione
ed illustrazione di opportuni controesempi che serviranno a chiarire i
concetti stessi.
Se il docente lo ritiene opportuno,
un'idea intuitiva dei concetti di limite e di derivata, legati ai classici
problemi della tangente ad una curva e della velocità,
può essere data negli anni precedenti, recuperando solo alla fine
un'impostazione rigorosa.
Lo studente sarà abituato all'esame
di grafici di semplici funzioni ed alla deduzione di informazioni dallo
studio di un andamento grafico; appare anche importante fare acquisire
una mobilità di passaggio dal grafico di una funzione a quello della
sua derivata e di una sua primitiva.
Il problema della misura sarà
affrontato con un approccio molto generale, a partire dalle conoscenze
già acquisite dallo studente nei suoi studi precedenti (aree dei
poligoni, lunghezza della circonferenza, area del cerchio, volume di solidi
notevoli) inquadrandolo preferibilmente sotto il profilo storico. Il concetto
di integrale scaturirà poi in modo naturale dalla necessità
di dare metodi generali per il calcolo di lunghezze, aree, volumi. Lo studente
potrà anche ritrovare, come semplici applicazioni del calcolo integrale,
alcune delle formule già note.
I contenuti elencati, seguendo
il metodo adottato dal programma per il biennio, di cui il presente programma
è il naturale proseguimento, sono distribuiti per «temi»,
allo scopo di dare risalto ai concetti fondamentali attorno a cui si aggregano
i vari argomenti. Al termine di ciascun tema viene data un'indicazione
di ripartizione degli argomenti per anno.
Sempre in analogia a quanto suggerito
nel programma per il biennio, il docente avrà cura di predisporre
il suo itinerario didattico in modo da mettere in luce analogie e connessioni
tra argomenti appartenenti a temi diversi, allo scopo di realizzarne l'integrazione
e di facilitare la comprensione da parte degli allievi.
Alcuni degli argomenti sono inseriti
tra asterischi: il loro svolgimento non è prescrittivo e starà
al docente operare una scelta - anche in riferimento al grado di approfondimento
della trattazione - che sia adeguata agli interessi ed al livello di formazione
culturale della classe.
Nel ribadire le indicazioni metodologiche
suggerite nel programma del biennio, si insiste sull'opportunità
che l'insegnamento sia condotto per problemi; dall'esame di una data situazione
problematica l'alunno sarà portato, prima a formulare un'ipotesi
di soluzione, poi a ricercare il procedimento risolutivo mediante il ricorso
alle conoscenze già acquisite, ed infine ad inserire il risultato
ottenuto in un organico quadro teorico complessivo, un processo in cui
l'appello all'intuizione sarà via via ridotto per dare più
spazio all'astrazione ed alla sistemazione razionale.
Si ricorda che il termine problema
va inteso nella sua accezione più ampia, riferito cioè anche
a questioni interne alla stessa matematica; in questa ipotesi potrà
risultare didatticamente proficuo storicizzare la questione presentandola
come una successione di tentativi portati a livello di rigore e di astrazione
sempre più spinti. A conclusione degli studi secondari scaturirà
così naturale nell'alunno l'interesse ad una revisione critica dei
concetti e delle teorie via via apprese, anche in un contesto interdisciplinare
e con il concorso di altri docenti, nonché l'esigenza della sistemazione
assiomatica dei temi affrontati che lo porterà a recepire un procedimento
che è diventato paradigmatico in qualsiasi ricerca e in ogni ambito
disciplinare.
L'insegnamento per problemi non esclude
però che il docente faccia ricorso ad esercizi di tipo applicativo,
sia per consolidare le nozioni apprese dagli alunni sia per fare acquisire
loro una sicura padronanza del calcolo.
E' comunque opportuno che l'uso dell'elaboratore
elettronico sia via via potenziato utilizzando strumenti e metodi propri
dell'informatica nei contesti matematici che vengono progressivamente sviluppati;
mediante la visualizzazione di processi algoritmici non attuabili con elaborazione
manuale, esso consente anche la verifica sperimentale di nozioni teoriche
già apprese e rafforza a sua volta negli alunni l'attitudine all'astrazione
ed alla formalizzazione per altra via conseguita.
FINALITA'
Nel corso del triennio l'insegnamento
della matematica prosegue ed amplia il processo di preparazione scientifica
e culturale dei giovani già avviato nel biennio; concorre insieme
alle altre discipline allo sviluppo dello spirito critico ed alla loro
promozione umana ed intellettuale.
In questa fase della vita scolastica
lo studio della matematica cura e sviluppa in particolare:
1. l'acquisizione di conoscenze a livelli
più elevati di astrazione e di formalizzazione;
2. la capacità di cogliere
i caratteri distintivi dei vari linguaggi (storico-naturali, formali, artificiali);
3. la capacità di utilizzare
metodi, strumenti e modelli matematici in situazioni diverse;
4. l'attitudine a riesaminare criticamente
ed a sistemare logicamente le conoscenze via via acquisite;
5. l'interesse sempre più vivo
a cogliere gli sviluppi storico-filosofici del pensiero matematico.
Queste finalità si integrano con quelle proprie delle altre discipline del triennio di modo che l'insegnamento della matematica, pur conservando la propria autonomia epistemologico-metodologica, concorra in forma interdisciplinare alla formazione culturale degli allievi.
OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO
Alla fine del triennio l'alunno dovrà possedere, sotto l'aspetto concettuale, i contenuti prescrittivi previsti dal programma ed essere in grado di:
1. sviluppare dimostrazioni all'interno
di sistemi assiomatici proposti o liberamente costruiti;
2. operare con il simbolismo matematico
riconoscendo le regole sintattiche di trasformazione di formule;
3. utilizzare metodi e strumenti di
natura probabilistica e inferenziale;
4. affrontare situazioni problematiche
di varia natura avvalendosi di modelli matematici atti alla loro rappresentazione;
5. costruire procedure di risoluzione
di un problema e, ove sia il caso, tradurle in programmi per il calcolatore;
6. risolvere problemi geometrici per
via sintetica o per via analitica;
7. interpretare intuitivamente situazioni
geometriche spaziali;
8. applicare le regole della logica
in campo matematico;
9. utilizzare consapevolmente elementi
del calcolo differenziale;
10. riconoscere il contributo dato
dalla matematica allo sviluppo delle scienze sperimentali;
11. inquadrare storicamente l'evoluzione
delle idee matematiche fondamentali;
12. cogliere interazioni tra pensiero
filosofico e pensiero matematico.
CONTENUTI
TEMA N. 1 - GEOMETRIA
1.a Circonferenza, ellisse, parabola,
iperbole nel piano cartesiano.
1.b Cambiamento del sistema di coordinate.
1.c Equazioni delle isometrie e delle
similitudini. Affinità e loro equazioni. Proprietà invarianti.
1.d Lunghezza della circonferenza
e area del cerchio.
1.e Teorema del coseno e teorema dei
seni. Risoluzione dei triangoli.
1.f Incidenza, parallelismo, ortogonalità
nello spazio. Angoli di rette e piani, angoli diedri, triedri.
1.g Poliedri regolari. Solidi notevoli.
1.h Le geometrie non euclidee dal
punto di vista elementare.
1.i Il metodo ipotetico-deduttivo:
concetti primitivi, assiomi, definizioni, teoremi. Coerenza ed indipendenza
di un sistema di assiomi.
1.l Sistemazione assiomatica della
geometria euclidea. *Esemplificazioni di sistemazione assiomatica in altri
contesti*.
Suddivisione per anno:
Classe terza : 1.a - 1.b - 1.c - 1.d
- 1.e
Classe quarta: 1.f - 1.g
Classe quinta: 1.h - 1.i - 1.l
TEMA N. 2 - INSIEMI NUMERICI E STRUTTURE
2.a L'insieme dei numeri naturali:
divisibilità, algoritmo euclideo, numeri primi, classi di resti.
2.b Principio d'induzione. Progressioni
aritmetiche e geometriche. Successioni numeriche. Successioni definite
per ricorrenza.
2.c L'insieme dei numeri reali e sua
completezza.
2.d Potenze a base reale positiva
e ad esponente razionale. Operazioni su di esse.
2.e Vettori nel piano.
2.f Numeri complessi e loro rappresentazione
grafica. *Radici n-esime dell'unità*.
2.g Potenze a base reale positiva
e ad esponente reale.
2.h Strutture algebriche fondamentali.
Insiemi ordinati.
2.i Spazi vettoriali: struttura vettoriale
in R2 e *in R3* *Basi, applicazioni lineari*. Risoluzione di sistemi lineari.
*Struttura algebrica dell'insieme delle matrici*.
2.l Confronto tra insiemi infiniti.
Suddivisione per anno:
Classe terza : 2.a - 2.b - 2.c - 2.d
- 2.e - 2.f
Classe quarta: 2.g - 2.h - 2.i - 2.l
TEMA N. 3 - FUNZIONI ED EQUAZIONI
3.a Disequazioni di II grado. Equazioni
e disequazioni fratte e irrazionali. Sistemi di disequazioni.
3.b Funzioni circolari. Formule di
addizione e principali conseguenze.
3.c Zeri di una funzione.
3.d Logaritmo e sue proprietà.
Funzioni esponenziale e logaritmica.
Suddivisione per anno:
Classe terza : 3.a - 3.b - 3.c
Classe quarta: 3.d
TEMA N. 4 - PROBABILITA' E STATISTICA
4.a Statistica descrittiva bivariata:
matrice dei dati, tabelle a doppia entrata, distribuzioni statistiche (congiunte,
condizionate, marginali). Regressione e correlazione.
4.b Valutazioni e definizioni di probabilità
in vari contesti.
4.c Correlazione, indipendenza, formula
di Bayes.
4.d Variabili aleatorie in una e *in
due dimensioni* (casi finiti).
4.e Variabili aleatorie discrete:
distribuzioni binomiale, *geometrica, di Poisson*.
4.f Distribuzioni continue. Distribuzione
normale ed errori di misura nelle scienze sperimentali. *Distribuzione
uniforme. Distribuzione esponenziale*.
4.g Legge dei grandi numeri (Bernoulli).
4.h *Confronti tra le distribuzioni
binomiale, di Poisson, normale (mediante la costruzione di tabelle numeriche)*.
4.i *Inferenza statistica: stima dei
parametri per modelli semplici*.
Suddivisione per anno:
Classe terza : 4.a
Classe quarta: 4.b - 4.c - 4.d - 4.e
Classe quinta: 4.f - 4.g - 4.h - 4.i
TEMA N. 5 - LOGICA
5.a Alcune regole d'inferenza. Esempi di derivazioni nella logica dei predicati.
Suddivisione per anno:
Classe terza : 5.a
TEMA N. 6 - INFORMATICA
6.a Implementazione di algoritmi numerici
diretti e iterativi, controllo della precisione.
6.b Convergenza di metodi iterativi.
Algoritmi ricorsivi. Algoritmi definiti in modo iterativo e in modo ricorsivo.
6.c *Il concetto di algoritmo. Esempi
di funzioni non calcolabili. Esempi di problemi non decidibili*.
Suddivisione per anno:
Classe terza : 6.a
Classe quarta: 6.b
Classe quinta: 6.c
TEMA N. 7 - ANALISI INFINITESIMALE
7.a Limite di una successione numerica.
7.b Limite e continuità di
una funzione in una variabile reale.
7.c Derivata di una funzione. Teoremi
di Rolle, Cauchy, Lagrange, De L'Hopital.
7.d Studio e rappresentazione grafica
di una funzione.
7.e Il problema della misura: lunghezza,
area, volume. Integrale definito.
7.f Funzione primitiva ed integrale
indefinito. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per
sostituzione e per parti.
7.g Risoluzione approssimata di equazioni.
Integrazione numerica.
Suddivisione per anno:
Classe quarta: 7.a - 7.b - 7.c - 7.d
Classe quinta: 7.e - 7.f - 7.g
N.B. Gli argomenti inseriti tra asterischi (*.*) non sono prescrittivi: il loro svolgimento e livello di approfondimento è lasciato alla valutazione degli insegnanti.
TEMA N. 1 -
GEOMETRIA
Gli argomenti di geometria indicati
per il triennio sono in stretta connessione con gli argomenti suggeriti
per il biennio e completano la formazione dello studente dandogli una visione,
per quanto possibile, completa della disciplina.
Proseguendo nello studio del metodo
cartesiano si definiranno le coniche come luoghi geometrici e se ne scriveranno
le equazioni con riferimento a sistemi di assi cartesiani opportunamente
scelti.
Il cambiamento del sistema di riferimento
sarà collegato alla determinazione delle equazioni delle isometrie,
già studiate nel biennio in forma sintetica; potrà anche
servire per ampliare lo studio delle coniche. Dalle isometrie, delle quali
saranno considerate le isometrie qualora non siano già state presentate
nel biennio, si passerà allo studio delle similitudini e quindi
a quelle delle affinità, considerando via via le proprietà
geometriche invarianti rispetto alle diverse trasformazioni. Questo procedimento,
che si inquadra nella concezione di Klein della geometria, tenderà
a far vedere allo studente il progressivo ampliamento dei relativi gruppi
di trasformazione e la conseguente riduzione delle proprietà delle
diverse figure man mano che si passa dalla geometria della congruenza a
quella affine.
Con l'argomento della lunghezza della
circonferenza e area del cerchio si affronta un tema, quello della misura,
che sarà ripreso in forma più generale nell'ultimo anno.
Lo studio della trigonometria, ridotto
all'essenziale, è finalizzato alla risoluzione dei triangoli; esso
risponde anche alle necessità proprie delle altre scienze.
Le dimostrazioni delle principali
proprietà dello spazio euclideo tridimensionale e dei solidi notevoli
completano gli argomenti di geometria elementare; nello sviluppo dei vari
argomenti l'intuizione avrà un ruolo determinante.
La presentazione delle geometrie non
euclidee non sarà fine a se stessa, ma servirà a chiarire
il significato di assioma e di sistema ipotetico-deduttivo. L'acquisizione
di tali concetti potrà essere facilitata da opportune riflessioni,
nel corso del triennio e in idonei contesti, sul metodo ipotetico-deduttivo.
Limitandosi a fatti fondamentali il
docente potrà ripercorrere i più significativi tentativi
di dimostrazione del V postulato di Euclide e illustrare semplici proprietà
delle geometrie non euclidee confrontandole con le situazioni che si presentano
nella geometria euclidea; potrà pure procedere, se lo ritiene didatticamente
opportuno, alla costruzione di modelli del piano ellittico e del piano
iperbolico, anche con semplici riferimenti alla geometria sulla sfera.
La riflessione critica porterà
lo studente, a conclusione dei suoi studi secondari, alla sistemazione
assiomatica della geometria euclidea, nella quale, tuttavia, si eviterà
una trattazione approfondita di tutti gli assiomi.
A giudizio del docente potranno essere
considerate sistemazioni assiomatiche anche in altri contesti al fine di
meglio recepire il concetto di teoria matematica formalizzata ed il senso
delle relative problematiche metateoriche.
TEMA N. 2 - INSIEMI NUMERICI E STRUTTURE
Nel presentare le questioni aritmetiche,
ma anche in altri contesti, il docente potrà accennare a qualcuno
dei problemi ancora aperti, anche allo scopo di far vedere come la matematica
non sia una scienza conclusa.
La presentazione delle classi di resti
serve a dare all'alunno un esempio significativo di insiemi finiti.
Del principio di induzione si potrà
dare una giustificazione intuitiva; il docente avrà cura di sottolineare
l'efficacia del principio stesso come strumento dimostrativo attraverso
vari esempi e applicazioni.
Ripercorrendo un cammino già
compiuto nel biennio (numeri naturali, razionali, relativi) si giungerà
ai numeri reali, per definire i quali si potrà far ricorso alle
sezioni di Dedekind o ad altri metodi; in ogni caso la definizione sarà
collegata con la proprietà di completezza del loro insieme. Nell'occasione,
come peraltro suggerito anche in altri temi, si porterà l'attenzione
dello studente sulle regole del calcolo numerico approssimato, già
note nel biennio.
L'argomento delle potenze a base reale
positiva e ad esponente razionale completa quanto svolto nel biennio; ci
si limiterà a considerare le operazioni fondamentali e semplici
espressioni.
L'introduzione del concetto di vettore
nella terza classe, con riferimento alle operazioni fondamentali, risulta
opportuno per il suo utilizzo in altri capitoli della matematica e nelle
altre scienze. L'argomento sarà ripreso ed ampliato successivamente.
La trattazione dei numeri complessi
si avvarrà anche dell'uso delle coordinate polari e sarà
accompagnata da numerose e varie applicazioni; ad esempio le radici n-esime
dell'unità potranno essere collegate con il problema di inscrivere
un poligono regolare di n lati in una circonferenza.
Il concetto di potenza ad esponente
reale sarà trattato in stretto collegamento con quello di logaritmo,
previsto nel medesimo anno.
Le strutture algebriche e d'ordine
saranno introdotte non come una classificazione teorico-formale, ma come
ambienti operativi i cui elementi possono essere di varia natura e nei
quali è possibile risolvere classi di problemi diversi; in particolare
sarà opportuno stimolare l'osservazione di proprietà strutturali
nella composizione di trasformazioni geometriche.
Al concetto generale di spazio vettoriale
ed, eventualmente, a quello di applicazione lineare si perverrà
attraverso l'analisi di casi concreti in vari contesti. Qualora si farà
riferimento alla struttura vettoriale anche in R3, sarà opportuno
collegare l'argomento a brevi cenni sulla geometria analitica dello spazio.
Lo studio di sistemi lineari che riprende un argomento già iniziato
nel biennio, mira a privilegiare l'esame delle operazioni che trasformano
un sistema lineare in altro ad esso equivalente. In tal modo si potrà
giungere, ad esempio, alla triangolazione della matrice dei coefficienti.
L'eventuale studio delle matrici può offrire un esempio particolarmente
semplice e significativo di anello non commutativo e potrà utilmente
essere collegato alle equazioni delle trasformazioni geometriche studiate
nel precedente anno.
Il confronto tra insiemi infiniti
dovrà far risaltare la differenza tra la potenza del numerabile
e quella del continuo.
TEMA N. 3 - FUNZIONI ED EQUAZIONI
Nel trattare le disequazioni di II
grado, come peraltro per le equazioni ed i sistemi, si considereranno parallelamente
la risoluzione algebrica e la rappresentazione geometrica. Si sottolinea
anche l'opportunità di non insistere troppo sulla complessità
e ripetitività delle equazioni e disequazioni fratte e irrazionali
dovendosi privilegiare sempre, più che la risoluzione fine a se
stessa, la comprensione delle loro caratteristiche e delle procedure da
seguire. In ogni caso si considereranno soltanto quelle che, ridotte a
forma intera, conducono ad equazioni o disequazioni di secondo grado.
Lo studio delle funzioni circolari
è limitato al teorema della somma e sue immediate conseguenze. Per
la determinazione dei valori di tali funzioni ci si avvarrà di strumenti
automatici di calcolo.
Nell'ambito del sottotema, previsto
nella classe terza, Zeri di una funzione, il docente introdurrà
in forma intuitiva il concetto di continuità di una funzione, concetto
che sarà ripreso in forma più rigorosa nella classe quarta.
La ricerca degli zeri, strettamente collegata con l'esame del grafico
delle funzioni incontrate e che si incontreranno, porta alla soluzione
di equazioni algebriche e trascendenti; nel trattare le prime il docente
potrà fare cenno al teorema fondamentale dell'algebra sottolineando
l'importanza dell'estensione dai numeri reali ai numeri complessi. L'argomento
sarà completato con la determinazione delle eventuali soluzioni
approssimate di un'equazione, avvalendosi dei metodi propri dell'informatica.
Gli esercizi di applicazione ai concetti
di esponenziale e logaritmo saranno limitati ai casi più semplici;
anche per il calcolo del logaritmo di un numero o del numero di dato logaritmo
si farà ricorso a strumenti automatici di calcolo. Dei suddetti
concetti - esponenziale e logaritmo - andranno invece poste in rilievo
sia l'importanza teorica (isomorfismo per strutture) sia le applicazioni
(modellizzazioni di fenomeni di accrescimento).
TEMA N. 4 - PROBABILITA' E STATISTICA
Gli elementi di calcolo delle probabilità
e statistica rispondono all'esigenza di abituare l'alunno ad effettuare
modellizzazioni di situazioni in condizioni di incertezza.
A questo fine è preferibile
che la statistica descrittiva (studio dei fenomeni collettivi) preceda
il calcolo delle probabilità, in quanto atta a fornire semplici
modelli capaci di aprire la problematica concettuale delle probabilità.
Inoltre la statistica descrittiva bivariata è così largamente
utilizzata nella pubblicistica quotidiana che appare molto opportuno e
naturale il suo inserimento precoce nella scuola.
Al contrario l'eventuale trattazione
della statistica inferenziale, essendo basata sull'applicazione del calcolo
delle probabilità a problemi statistici, deve necessariamente seguire
la trattazione dei due precedenti argomenti.
Per quanto riguarda il calcolo delle
probabilità l'allusione ai vari contesti in cui si valutano queste
probabilità conduce alle diverse definizioni di probabilità
che sono state storicamente proposte; definizioni che, opportunamente
riprese, non verranno viste come antitetiche l'una dell'altra, potendosi
usare in ogni contesto applicativo quella che appare più opportuna
nello stato di informazione in cui si sta operando.
Una possibile sintesi tra le varie
definizioni, sta nella formalizzazione assiomatica della teoria, che va
presentata e motivata sia da un punto di vista storico, sia secondo una
giustificazione di comodità per lo sviluppo dell'intera teoria,
sia per fornire un ulteriore esempio di teoria matematica espressa in forma
ipotetico-deduttiva.
Questo esempio potrà utilmente
essere accostato a quelli di geometria e di altri contesti per consentire
quella sintesi finale che è il ripensamento del metodo matematico.
Le semplici distribuzioni di probabilità,
che saranno trattate sono sufficienti a dare indicazioni non banali sulla
problematica di questa parte del calcolo delle probabilità, anche
perché sono particolarmente ricche di applicazioni in vari contesti:
fisico, biologico, economico, applicazioni che saranno utilizzate per meglio
mettere in luce gli aspetti peculiari dei diversi modelli (binomiale, poissoniano,
ecc.).
Lo studio della curva normale, introdotta
anche sperimentalmente, e delle altre distribuzioni fornisce esempi significativi
per l'applicazione di metodi e concetti dell'analisi, in particolare attraverso
l'eventuale esame dei legami tra le distribuzioni binomiale e poissoniana,
binomiale e normale, e mediante la costruzione numerica di tabelle approssimate.
La legge dei grandi numeri fornisce
un anello che lega i problemi statistici ed i modelli probabilistici permettendo,
volendo, di introdurre già alcuni esempi significativi di inferenza.
L'insegnante può presentare tale legge dal punto di vista teorico,
con eventuale dimostrazione, oppure dal punto di vista empirico presentando
al computer simulazioni di tipo bernoulliano.
Il problema degli errori di misura,
visto in vari contesti disciplinari (fisica, biologia, ecc.), può
permettere di introdurre altri esempi centrali di inferenza e di mettere
in luce aspetti importanti dei problemi di stima dei parametri.
Particolare cura sarà posta
nel ricordare le basi storiche e filosofiche (Pascal, empirismo inglese,
ecc.).
TEMA N. 5 - LOGICA
Il docente non presenterà una
trattazione completa delle regole d'inferenza della logica dei predicati,
che risulterebbe troppo astratta, ma sceglierà alcuni tipici schemi
di deduzione di uso più frequente in matematica.
Sarà molto utile illustrare
tali schemi con esempi di dimostrazioni, scelti anche tra quelli già
noti allo studente.
Si completa così lo studio
della logica delle proposizioni e dei predicati, già iniziato nel
biennio. La riflessione logica merita comunque molta attenzione in tutti
gli anni del triennio, anche in collegamento ad argomenti citati in altri
temi (ad esempio il principio d'induzione, il confronto tra insiemi infiniti).
In particolare lo studio della logica sarà ripreso quando si affronteranno
gli argomenti di geometria dell'ultimo anno.
TEMA N. 6 - INFORMATICA
Il sottotema Implementazione di
algoritmi numerici diretti e iterativi, controllo della precisione, previsto
per il terzo anno, si articola sui seguenti argomenti: risoluzione di semplici
sistemi lineari, approssimazione di soluzione di equazioni, costruzione
di successioni.
Questo studio continuerà nel
quarto anno come Convergenza di metodi iterativi. Algoritmi ricorsivi.
Confronto tra algoritmi definiti in modo iterativo ed in modo ricorsivo,
con la risoluzione più generale di sistemi lineari, la ricerca di
valori delle funzioni considerate, la verifica di convergenza di successioni.
Potranno essere considerati anche metodi approssimati per il calcolo di
p e del numero e.
Per questi argomenti potrà
usarsi in laboratorio, in modo più avanzato, lo stesso ambiente
di programmazione conosciuto al biennio, nonché avvalersi di idoneo
software didattico. Sarà didatticamente opportuno utilizzare software
didattico anche in relazione ad altri ambiti (geometria, statistica, ecc.).
Il sottotema Il concetto di algoritmo.
Esempi di funzioni non calcolabili. Esempi di problemi non decidibili,
sarà trattato ad un livello di approfondimento adeguato alle basi
culturali degli alunni.
TEMA N. 7 - ANALISI INFINITESIMALE
L'introduzione del concetto di limite
e di quelli di derivabilità ed integrabilità sarà
accompagnato da un ventaglio quanto più ampio possibile di loro
impieghi in ambiti matematici ed extramatematici ed arricchita dalla presentazione
ed illustrazione di opportuni controesempi che serviranno a chiarire i
concetti stessi.
Se il docente lo ritiene opportuno,
un'idea intuitiva dei concetti di limite e di derivata, legati ai classici
problemi della tangente ad una curva e della velocità,
può essere data negli anni precedenti, recuperando successivamente
un'impostazione rigorosa.
Lo studente sarà abituato all'esame
di grafici di funzioni algebriche e trascendenti ed alla deduzione di informazioni
dallo studio di un andamento grafico; appare anche importante fare acquisire
una mobilità di passaggio dal grafico di una funzione a quello della
sua derivata e di una sua primitiva.
Il problema della misura sarà
affrontato con un approccio molto generale, a partire dalle conoscenze
già acquisite dallo studente nei suoi studi precedenti (aree dei
poligoni, lunghezza della circonferenza, area del cerchio, volume dei solidi
notevoli) inquadrandolo preferibilmente sotto il profilo storico. Il concetto
di integrale scaturirà poi in modo naturale dalla necessità
di dare metodi generali per il calcolo di lunghezze, aree, volumi. Lo studente
potrà anche ritrovare, come semplice applicazione del calcolo integrale,
formule già note.
Con gli argomenti di analisi numerica
si prosegue lo studio dei procedimenti per la ricerca di soluzioni approssimate
di equazioni, già iniziato nel terzo anno con il ricorso a strumenti
informatici. L'integrazione numerica offre, in particolare, un'ulteriore
occasione significativa di utilizzo di tali strumenti.
INDICAZIONI METODOLOGICHE
I contenuti elencati, seguendo il metodo
adottato dal programma per il biennio, di cui il presente programma è
il naturale proseguimento, sono distribuiti per «temi», allo
scopo di dare risalto ai concetti fondamentali attorno a cui si aggregano
i vari argomenti. Al termine di ciascun tema viene data un'indicazione
di ripartizione degli argomenti per anno.
Sempre in analogia a quanto suggerito
nel programma per il biennio, il docente avrà cura di predisporre
il suo itinerario didattico in modo da mettere in luce analogie e connessioni
tra argomenti appartenenti a temi diversi, allo scopo di realizzarne l'integrazione
e di facilitare la comprensione da parte degli allievi.
Alcuni degli argomenti sono inseriti
tra asterischi: il loro svolgimento non è prescrittivo e starà
al docente operare una scelta - anche in riferimento al grado di approfondimento
della trattazione - che sia adeguata agli interessi ed al livello di formazione
culturale della classe.
Nel ribadire le indicazioni metodologiche
suggerite nel programma del biennio, si insiste sull'opportunità
che l'insegnamento sia condotto per problemi; dall'esame di una data situazione
problematica l'alunno sarà portato, prima a formulare un'ipotesi
di soluzione, poi a ricercare il procedimento risolutivo mediante il ricorso
alle conoscenze già acquisite, ed infine ad inserire il risultato
ottenuto in un organico quadro teorico complessivo, un processo in cui
l'appello all'intuizione sarà via via ridotto per dare più
spazio all'astrazione ed alla sistemazione razionale.
Si ricorda che il termine problema
va inteso nella sua accezione più ampia, riferito cioè anche
a questioni interne alla stessa matematica; in questa ipotesi potrà
risultare didatticamente proficuo storicizzare la questione presentandola
come una successione di tentativi portati a livello di rigore e di astrazione
sempre più spinti. A conclusione degli studi secondari scaturirà
così naturale nell'alunno l'interesse ad una revisione critica dei
concetti e delle teorie via via apprese, anche in un contesto interdisciplinare
e con il concorso di altri docenti, nonché l'esigenza della sistemazione
assiomatica dei temi affrontati che lo porterà a recepire un procedimento
che è diventato paradigmatico in qualsiasi ricerca e in ogni ambito
disciplinare.
L'insegnamento per problemi non esclude
però che il docente faccia ricorso ad esercizi di tipo applicativo,
sia per consolidare le nozioni apprese dagli alunni sia per fare acquisire
loro una sicura padronanza del calcolo.
E' comunque opportuno che l'uso dell'elaboratore
elettronico sia via via potenziato utilizzando strumenti e metodi propri
dell'informatica nei contesti matematici che vengono progressivamente sviluppati;
mediante la visualizzazione di processi algoritmici non attuabili con elaborazione
manuale, esso consente anche la verifica sperimentale di nozioni teoriche
già apprese e rafforza a sua volta negli alunni l'attitudine all'astrazione
ed alla formalizzazione per altra via conseguita.
FINALITA'
Nel corso del secondo biennio l'insegnamento
della matematica prosegue ed amplia il processo di preparazione scientifica
e culturale dei giovani già avviato nel biennio; concorre insieme
alle altre discipline allo sviluppo dello spirito critico ed alla loro
promozione umana ed intellettuale.
In questa fase della vita scolastica
lo studio della matematica cura e sviluppa in particolare:
1. l'acquisizione di conoscenze a livelli
più elevati di astrazione e di formalizzazione;
2. la capacità di cogliere
i caratteri distintivi dei vari linguaggi (storico-naturali, formali, artificiali);
3. la capacità di utilizzare
metodi, strumenti e modelli matematici in situazioni diverse;
4. l'attitudine a riesaminare criticamente
ed a sistemare logicamente le conoscenze via via acquisite;
5. l'interesse sempre più vivo
nel cogliere gli sviluppi storico-filosofici del pensiero matematico;
6. la riflessione su concetti e metodi
significativi nella didattica della matematica elementare.
Queste finalità si integrano con quelle proprie delle altre discipline del biennio di modo che l'insegnamento della matematica, pur conservando la propria autonomia epistemologico-metodologica, concorra in forma interdisciplinare alla formazione culturale degli allievi.
OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO
Alla fine del secondo biennio l'alunno dovrà possedere, sotto l'aspetto concettuale, i contenuti prescrittivi previsti dal programma ed essere in grado di:
1. sviluppare dimostrazioni all'interno
di sistemi assiomatici proposti o liberamente costruiti;
2. operare con il simbolismo matematico
riconoscendo le regole sintattiche di trasformazione di formule;
3. utilizzare metodi e strumenti di
natura probabilistica e inferenziale;
4. affrontare situazioni problematiche
di varia natura avvalendosi di modelli matematici atti alla loro rappresentazione;
5. costruire procedure di risoluzione
di un problema e, ove sia il caso, tradurle in programmi per il calcolatore;
6. risolvere problemi geometrici per
via sintetica o per via analitica;
7. interpretare intuitivamente situazioni
geometriche spaziali;
8. applicare le regole della logica
in campo matematico;
9. utilizzare consapevolmente i primi
elementi del calcolo differenziale;
10. inquadrare storicamente l'evoluzione
delle idee matematiche fondamentali;
11. cogliere interazioni tra pensiero
filosofico e pensiero matematico.
CONTENUTI
TEMA N. 1 - GEOMETRIA
1.a Trasformazioni per omotetia e per
similitudine del piano euclideo. Proprietà invarianti. Teorema di
Talete.
1.b Circonferenza, ellisse, parabola,
iperbole nel piano cartesiano.
1.c Lunghezza della circonferenza
e misure angolari. Area del cerchio.
1.d Definizione geometrica di coseno
e di seno. Teorema del coseno e teorema dei seni. Risoluzione dei triangoli
rettangoli.
1.e Incidenza, parallelismo, ortogonalità
nello spazio. Angoli di rette e piani, angoli diedri, triedri.
1.f Poliedri regolari. Solidi notevoli.
1.g Le geometrie non euclidee dal
punto di vista elementare.
1.h Il metodo ipotetico-deduttivo:
concetti primitivi, assiomi, definizioni, teoremi. Coerenza di un sistema
di assiomi.
1.i Gli assiomi della geometria euclidea
e dell'aritmetica.
Suddivisione per anno:
Classe terza : 1.a - 1.b - 1.c - 1.d
Classe quarta: 1.e - 1.f - 1.g - 1.h
- 1.i
TEMA N. 2 - INSIEMI NUMERICI E STRUTTURE
2.a Calcolo combinatorio: disposizioni,
permutazioni, combinazioni.
2.b Aspetti cardinale ed ordinale
di un numero naturale. L'insieme dei numeri naturali: sistemi di numerazione;
proprietà formali delle operazioni fondamentali; divisibilità;
algoritmo euclideo; numeri primi; classi di resti.
2.c Principio d'induzione. Progressioni
aritmetiche e geometriche. Successioni numeriche.
2.d L'insieme dei numeri reali e sua
completezza.
2.e Potenze a base reale positiva
e ad esponente razionale. Operazioni su di esse.
2.f Vettori nel piano.
2.g *Numeri complessi *.
2.h Strutture algebriche fondamentali.
Insiemi ordinati.
2.i *Confronto tra insiemi infiniti*.
Suddivisione per anno:
Classe terza : 2.a - 2.b - 2.c - 2.d
- 2.e - 2.f - 2.g
Classe quarta: 2.h - 2.i
TEMA N. 3 - FUNZIONI ED EQUAZIONI
3.a Equazioni e sistemi di II grado.
Disequazioni di II grado.
3.b Zeri di una funzione.
Suddivisione per anno:
Classe terza : 3.a - 3.b
TEMA N. 4 - PROBABILITA' E STATISTICA
4.a Statistica descrittiva bivariata:
matrice dei dati, tabelle a doppia entrata, distribuzioni statistiche (congiunte,
condizionate, marginali). Coefficiente di correlazione.
4.b Valutazioni e definizioni di probabilità
in vari contesti.
4.c Correlazione, indipendenza, formula
di Bayes.
4.d *Variabili aleatorie discrete:
distribuzioni binomiale, geometrica, di Poisson*.
Suddivisione per anno:
Classe terza : 4.a
Classe quarta: 4.b - 4.c - 4.d
TEMA N. 5 - LOGICA
5.a Alcune regole d'inferenza nella logica dei predicati.
Suddivisione per anno:
Classe terza : 5.a
TEMA N. 6 - INFORMATICA
6.a *Analisi statistica di testi*.
6.b *Sistemi ipermediali*.
Suddivisione per anno:
Classe terza : 6.a
Classe quarta: 6.b
TEMA N. 7 - ANALISI INFINITESIMALE
7.a Limite di una successione numerica.
7.b Limite, continuità e derivata
di una funzione in una variabile reale.
7.c Studio e rappresentazione grafica
di semplici funzioni razionali.
7.d Il problema della misura: lunghezza,
area, volume. Integrale definito.
7.e Funzione primitiva ed integrale
indefinito. Integrali di funzioni polinomiali.
Suddivisione per anno:
Classe quarta: 7.a - 7.b - 7.c - 7.d - 7.e
N.B. Gli argomenti inseriti tra asterischi (*.*) non sono prescrittivi: il loro svolgimento e livello di approfondimento è lasciato alla valutazione degli insegnanti.
TEMA N. 1 - GEOMETRIA
Gli argomenti di geometria indicati
sono in stretta connessione con gli argomenti suggeriti per il biennio
e completano la formazione dello studente dandogli una visione, per quanto
possibile, completa della disciplina.
L'argomento delle omotetie e similitudini
completa quello delle isometrie; di quest'ultimo saranno esaminate le composizioni
qualora non siano già state presentate nel biennio. Il tema si inquadra
nella concezione di Klein della geometria ed è finalizzato alla
ricerca delle proprietà invarianti delle figure.
Proseguendo nello studio del metodo
cartesiano si definiranno le coniche come luoghi geometrici e se ne scriveranno
le equazioni con riferimento a sistemi di assi cartesiani opportunamente
scelti.
Con l'argomento della lunghezza della
circonferenza e area del cerchio si affronta un tema, quello della misura,
che sarà ripreso in forma più generale nell'ultimo anno.
Lo studio della trigonometria, ridotto
all'essenziale, è finalizzato alla risoluzione dei triangoli rettangoli;
esso risponde anche alle necessità proprie delle altre scienze.
Le dimostrazioni delle principali
proprietà dello spazio euclideo tridimensionale e dei solidi notevoli
completano gli argomenti di geometria elementare; nello sviluppo dei vari
argomenti l'intuizione avrà un ruolo determinante.
La presentazione delle geometrie non
euclidee non sarà fine a se stessa, ma servirà a chiarire
il significato di assioma e di sistema ipotetico-deduttivo. L'acquisizione
di tali concetti potrà essere facilitata da opportune riflessioni,
nel corso del biennio e in idonei contesti, sul metodo ipotetico-deduttivo.
Limitandosi a fatti fondamentali il
docente potrà ripercorrere i più significativi tentativi
di dimostrazione del V postulato di Euclide e illustrare semplici proprietà
delle geometrie non euclidee confrontandole con le situazioni che si presentano
nella geometria euclidea; potrà pure procedere, se lo ritiene didatticamente
opportuno, alla costruzione di modelli del piano ellittico e del piano
iperbolico, anche con semplici riferimenti alla geometria sulla sfera.
La riflessione critica porterà
lo studente, a conclusione dei suoi studi secondari, alla sistemazione
assiomatica della geometria euclidea, nella quale, tuttavia, si eviterà
una trattazione approfondita di tutti gli assiomi.
Lo studio dell'assiomatizzazione dell'aritmetica
contribuirà a far meglio recepire il concetto di teoria matematica
formalizzata ed il senso delle relative problematiche metatoriche.
TEMA N. 2 - INSIEMI NUMERICI E STRUTTURE
Lo studio del calcolo combinatorio
si può limitare alle disposizioni, permutazioni e combinazioni semplici
e alle loro proprietà principali; esso contribuirà, tra l'altro,
ad abituare lo studente a dimostrazioni di tipo algebrico.
Dei sistemi di numerazione a base
diversa da 10 saranno considerati prioritariamente quelli utilizzati in
ambito informatico. Le regole per le operazioni sui numeri naturali saranno
giustificate mettendo in luce l'impiego implicito delle proprietà
formali e saranno applicate anche in sistemi non decimali. Nel presentare
le questioni aritmetiche, ma anche in altri contesti, il docente potrà
accennare a qualcuno dei problemi ancora aperti, anche allo scopo di far
vedere come la matematica non sia una scienza conclusa. La presentazione
delle classi di resti serve a dare all'alunno un esempio significativo
di insiemi finiti.
Del principio di induzione si potrà
dare una giustificazione intuitiva; il docente avrà cura di sottolineare
l'efficacia del principio stesso come strumento dimostrativo attraverso
vari esempi e applicazioni.
Ripercorrendo un cammino già
compiuto nel biennio (numeri naturali, razionali, relativi) si giungerà
ai numeri reali, per definire i quali si potrà far ricorso alle
sezioni di Dedekind o ad altri metodi; in ogni caso la definizione sarà
collegata con la proprietà di completezza del loro insieme. Nell'occasione,
come peraltro suggerito anche in altri temi, si porterà l'attenzione
dello studente sulle regole del calcolo numerico approssimato, già
note nel biennio.
Nel trattare le potenze a base reale
positiva e ad esponente razionale, e quindi nel calcolo dei radicali, si
considereranno semplici espressioni, dovendosi privilegiare sempre, più
che l'esercizio fine a se stesso, la padronanza concettuale e la consapevolezza
delle procedure seguite.
Nello studio dei vettori ci si limiterà
alle operazioni fondamentali: somma di vettori, prodotto di un vettore
per un numero reale, prodotto scalare di due vettori.
L'argomento dei numeri complessi,
se il docente riterrà di inserirlo, sarà collegato alla risoluzione
dell'equazione di II grado; le operazioni su di essi saranno quelle che
possono essere condotte sulla loro forma binomiale.
Le strutture algebriche e d'ordine
saranno introdotte non come una classificazione teorico-formale, ma come
ambienti operativi i cui elementi possono essere di varia natura e nei
quali è possibile risolvere classi di problemi diversi; in particolare
sarà opportuno stimolare l'osservazione di proprietà strutturali
nella composizione di trasformazioni geometriche.
Il confronto tra insiemi infiniti,
argomento peraltro non prescrittivo, servirà a far risaltare la
differenza tra la potenza del numerabile e quella del continuo.
TEMA N. 3 - FUNZIONI ED EQUAZIONI
Nello sviluppo di equazioni, disequazioni
e sistemi di II grado si considererà parallelamente la risoluzione
algebrica e la rappresentazione geometrica.
Nell'ambito del sottotema, previsto
nella classe terza, Zeri di una funzione, il docente introdurrà
in forma intuitiva il concetto di continuità di una funzione, concetto
che sarà ripreso in forma più rigorosa nella classe quarta.
La ricerca degli zeri, strettamente collegata con l'esame del grafico
delle funzioni via via incontrate, porta alle soluzioni di equazioni algebriche
ed eventualmente trascendenti. Nel trattare le prime, se sono stati introdotti
i numeri complessi, il docente potrà fare cenno al teorema fondamentale
dell'algebra; per le seconde si limiterà a quelle più semplici.
TEMA N. 4 - PROBABILITA' E STATISTICA
Gli elementi di calcolo delle probabilità
e statistica rispondono all'esigenza di abituare l'alunno ad effettuare
modellizzazioni di situazioni in condizioni di incertezza.
A questo fine è preferibile
che la statistica descrittiva (studio dei fenomeni collettivi) preceda
il calcolo delle probabilità, in quanto atta a fornire semplici
modelli capaci di aprire la problematica concettuale delle probabilità.
Inoltre la statistica descrittiva bivariata è così largamente
utilizzata nella pubblicistica quotidiana che appare molto opportuno e
naturale il suo inserimento precoce nella scuola.
Per quanto riguarda il calcolo delle
probabilità l'allusione ai vari contesti in cui si valutano queste
probabilità conduce alle diverse definizioni di probabilità
che sono state storicamente proposte; definizioni che, opportunamente
riprese, non verranno viste come antitetiche l'una dell'altra, potendosi
usare in ogni contesto applicativo quella che appare più opportuna
nello stato di informazione in cui si sta operando.
Una possibile sintesi tra le varie
definizioni, che potrà essere effettuata all'ultimo anno, sta nella
formalizzazione assiomatica della teoria, che va presentata e motivata
sia da un punto di vista storico, sia secondo una giustificazione di comodità
per lo sviluppo dell'intera teoria, sia per fornire un ulteriore esempio
di teoria matematica espressa in forma ipotetico-deduttiva.
Questo esempio potrà utilmente
essere accostato a quelli di geometria e di aritmetica per consentire quella
sintesi finale che è il ripensamento del metodo matematico.
Le semplici distribuzioni di probabilità,
che saranno trattate se il docente lo ritiene opportuno, sono sufficienti
a dare indicazioni non banali sulla problematica di questa parte del calcolo
delle probabilità, anche perché sono particolarmente ricche
di applicazioni in vari contesti: fisico, biologico, economico, applicazioni
che saranno utilizzate per meglio mettere in luce gli aspetti peculiari
dei diversi modelli (binomiale, poissoniano, ecc.).
Particolare cura sarà posta
nel ricordare le basi storiche e filosofiche (Pascal, empirismo inglese,
ecc.).
TEMA N. 5 - LOGICA
Il docente non presenterà una
trattazione completa delle regole d'inferenza della logica dei predicati,
che risulterebbe troppo astratta, ma sceglierà alcuni tipici schemi
di deduzione di uso più frequente in matematica.
Sarà molto utile illustrare
tali schemi con esempi di dimostrazioni, scelti anche tra quelli già
noti allo studente.
Si completa così lo studio
della logica delle proposizioni e dei predicati, già iniziato nel
biennio. La riflessione logica merita comunque molta attenzione in tutto
il corso di studio, anche in collegamento ad argomenti citati in altri
temi (ad esempio il principio d'induzione, l'eventuale confronto tra insiemi
infiniti). In particolare lo studio della logica sarà ripreso quando
si affronteranno gli argomenti di geometria dell'ultimo anno.
TEMA N. 6 - INFORMATICA
Il sottotema Analisi statistica
di testi si può articolare in strutture dei dati (vettori, alberi,
tabelle), algoritmi di memorizzazione, individuazione di parametri statistici
significativi (frequenza e distribuzione dei caratteri, delle parole, ecc.).
Per questi argomenti in laboratorio si può usare lo stesso ambiente
di programmazione conosciuto nel biennio.
Il sottotema Sistemi ipermediali
potrà essere rivolto alla realizzazione ed utilizzo di sistemi ipertestuali
ed ipermediali orientati alla presentazione didattica. Per questi argomenti
in laboratorio si può usare un sistema ipertestuale con possibilità
di integrazione di testo, immagini e suono.
TEMA N. 7 - ANALISI INFINITESIMALE
Per l'introduzione del concetto di
limite e di quelli di derivabilità ed integrabilità il docente
potrà limitarsi a considerazioni di carattere intuitivo, eventualmente
accennando allo sviluppo storico di tali concetti. La loro trattazione
sarà accompagnata da un ventaglio quanto più ampio possibile
di loro impieghi in ambiti matematici ed extramatematici ed arricchita
dalla presentazione ed illustrazione di opportuni controesempi che serviranno
a chiarire i concetti stessi.
Lo studente sarà abituato all'esame
di grafici di semplici funzioni razionali ed alla deduzione di informazioni
dallo studio di un andamento grafico; appare anche importante fare acquisire
una mobilità di passaggio dal grafico di una funzione a quello della
sua derivata e di una sua primitiva.
Il problema della misura sarà
affrontato con un approccio molto generale, a partire dalle conoscenze
già acquisite dallo studente nei suoi studi precedenti (aree dei
poligoni, lunghezza della circonferenza, area del cerchio, volume di solidi
notevoli) inquadrandolo preferibilmente sotto il profilo storico. Il concetto
di integrale scaturirà poi in modo naturale dalla necessità
di dare metodi generali per il calcolo di lunghezze, aree, volumi. Lo studente
potrà anche ritrovare, come semplici applicazioni del calcolo integrale,
alcune delle formule già note.
INDICAZIONI METODOLOGICHE
I contenuti elencati, seguendo il metodo
adottato dal programma per il biennio, di cui il presente programma è
il naturale proseguimento, sono distribuiti per «temi», allo
scopo di dare risalto ai concetti fondamentali attorno a cui si aggregano
i vari argomenti. Al termine di ciascun tema viene data un'indicazione
di ripartizione degli argomenti per anno.
Sempre in analogia a quanto suggerito
nel programma per il biennio, il docente avrà cura di predisporre
il suo itinerario didattico in modo da mettere in luce analogie e connessioni
tra argomenti appartenenti a temi diversi, allo scopo di realizzarne l'integrazione
e di facilitare la comprensione da parte degli allievi.
Alcuni degli argomenti sono inseriti
tra asterischi: il loro svolgimento non è prescrittivo e starà
al docente operare una scelta - anche in riferimento al grado di approfondimento
della trattazione - che sia adeguata agli interessi ed al livello di formazione
culturale della classe.
Nel ribadire le indicazioni metodologiche
suggerite nel programma del biennio, si insiste sull'opportunità
che l'insegnamento sia condotto per problemi; dall'esame di una data situazione
problematica l'alunno sarà portato, prima a formulare un'ipotesi
di soluzione, poi a ricercare il procedimento risolutivo mediante il ricorso
alle conoscenze già acquisite, ed infine ad inserire il risultato
ottenuto in un organico quadro teorico complessivo, un processo in cui
l'appello all'intuizione sarà via via ridotto per dare più
spazio all'astrazione ed alla sistemazione razionale.
Si ricorda che il termine problema
va inteso nella sua accezione più ampia, riferito cioè anche
a questioni interne alla stessa matematica; in questa ipotesi potrà
risultare didatticamente proficuo storicizzare la questione presentandola
come una successione di tentativi portati a livello di rigore e di astrazione
sempre più spinti. A conclusione degli studi secondari scaturirà
così naturale nell'alunno l'interesse ad una revisione critica dei
concetti e delle teorie via via apprese, anche in un contesto interdisciplinare
e con il concorso di altri docenti, nonché l'esigenza della sistemazione
assiomatica dei temi affrontati che lo porterà a recepire un procedimento
che è diventato paradigmatico in qualsiasi ricerca e in ogni ambito
disciplinare.
L'insegnamento per problemi non esclude
però che il docente faccia ricorso ad esercizi di tipo applicativo,
sia per consolidare le nozioni apprese dagli alunni sia per fare acquisire
loro una sicura padronanza del calcolo.
E' comunque opportuno che l'uso dell'elaboratore
elettronico sia via via potenziato utilizzando strumenti e metodi propri
dell'informatica nei contesti matematici che vengono progressivamente sviluppati;
mediante la visualizzazione di processi algoritmici non attuabili con elaborazione
manuale, esso consente anche la verifica sperimentale di nozioni teoriche
già apprese e rafforza a sua volta negli alunni l'attitudine all'astrazione
ed alla formalizzazione per altra via conseguita.
Home Page |
---|